第3章 P—Q分解法潮流计算基本原理设有单变量非线性方程 f(x)=0 （3-1） 求解此方程时，先给出解的近似值x(0)，它与真解的误差为Δx(0)，则将满足方程(3-1)，即 f(x(0)+Δx(0))=0 （3-2） 将式(3-2)左边的函数在x(0)附近展成泰勒级数，于是便得 （3-3） 式中f’(x(0)),…，f(n)(x(0))分别为函数f(x)在x(0)处的一阶导数，…，n阶导数。 如果差值Δx(0)很小，式(4-3)右端的二次及以上阶次的各项均可略去。于是，式(3-3)可简化为 （3-4） 这是关于修正量Δx(0)的线性方程式，亦称为修正方程式。解此方程式可得修正量 （3-5） 用所求得的Δx(0)去修正近似解，便得 由于式(3-4)是略去了高次项的简化式，因此所解出的修正量Δx(0)也只是近似值。修正后的近似解x(1)与真解仍然有误差。但是，这样的迭代计算可以反复进行下去，迭代计算的通式是 （3-6） 迭代过程的收敛判据为 （3-7） 或 （3-8） 式中的ε1，ε2是预先给定的小正数。
图（3.1）牛顿法的几何解释 这种解法的几何意义可以从图(3.1)中得到证明。由此可见，牛顿—拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法。设有n个联立的非线性代数方程： （3-9） 应用牛顿法求解多变量非线性方程组(3-9)时，假定已给出各变量的初值x1(0)，x2(0)，…，xn(0)，令Δx1(0)，Δx2(0)，…，Δxn(0)分别为各变量的修正量，使其满足方程，即 （3-10） 将上式中的n个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数，并略去含有Δx1(0)，Δx2(0)，…，Δxn(0)的二次及以上阶次的各项，使得 方程式可以写成矩阵形式 （3-12） 方程式(3-12)是对于修正量Δx1(0)，Δx2(0)，…，Δxn(0)的线性方程组，称为牛顿法的修正方程式。利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量Δx1(0)，Δx2(0)，…，Δxn(0)。然后对初始近似解进行修正 xi(1)=xi(0)+Δxi(0) (i=1,2,…,n) （3-13） 如此反复迭代，在进行第次迭代时，从求解修正方程式 （3-14） 得到修正量Δx1(k)，Δx2(k)，…，Δxn(k)，并对各变量进行修正 xi(k+1)=xi(k)+Δxi(k) (i=1,2,…,n) （3-15） 式(4-14)和(4-15)也可以缩写为 F(x(k))=-J(k)Δx(k) （3-16） 和 x(k+1)=x(k)+Δx(k) （3-17） 式中，x和Δx分别是有n个变量和修正量组成的n维列向量；F(x)是由n个多元函数组成的n维列向量；J是n×n阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第Jij个元素 迭代过程一直进行到满足收敛判据 （3-18） 或 （3-19） 为止，ε1和ε2为预先给定的小正数。 将牛顿—拉夫逊法进行潮流计算，要求将潮流方程写成形如（3-9）的形式。由于节点电压可以采用不同的坐标系来表示，牛顿—拉夫逊法潮流计算也将相应的采用不同的计算公式。 采用极坐标时，节点电压表示为 节点的功率方程(4-20)将写成 （3-20） 式中，δij=δi-δj是两节点电压的相角差。 方程式(4-33)把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。在有n个节点的系统中，假定第1～m号节点为节点，第m+1～n-1号节点为节点，第n号节点为平衡节点。Vn和δn是给定的，PV节点的电压幅值Vm+1～Vn-1也是给定的。因此，只剩下n-1个节点的电压相角δ1，δ2，…，δn-1和m个节点的电压幅值V1，V2，…，Vm是未知量。 实际上，对于每一个PQ节点或每一个PV节点都可以列写一个有功功率不平衡量方程式 (i=1,2,…,n) （3-21） 而对于每一个PQ节点还可以在列写一个无功功率不平衡量方程式 (i=1,2,…,m) （3-22） 式（3-21）和（3-22）一共包含了n-1+m个方程式，正好同未知数的数目相同，而比直角坐标形式的方程少了n-1-m个。 对于方程式（3-21）和（3-22）可以写出修正方程式如下 （3-23） 式中 （3-24） H是(n-1)×(n-1)阶方阵，其元素为 ；N是(n-1)×m阶矩阵，其元素为 ；K是m×(n-1)阶矩阵，其元素为 ；L是m×m阶方阵，其元素为 。 在这里把节点不平衡功率对节点电压幅值的偏导数都乘以该节点电压，相应地把节点电压的修正量都除以该节点的电压幅值，这样，雅可比矩阵的表达式就具有比较整齐的形式。 对式（3-21）和式（3-22）求偏导数，可以得到雅可比矩阵元素的表达式如下： （当i≠j时） （3-25） （当i=j时） （3-26） 其计算步骤和程序框图在这里不给出。 3.3 P—Q分解法的原理采用极坐标形式表示节点电压，能够根据电力系统实际运行状态的物理特点，对牛顿潮流计算的数学模型进行合理的简化。 在交流高压电网中，输电线路的电抗要比电阻大得多，系统中母线有功功率的变化则主要受母线电压幅值变化的影响。在修正方程式的系数矩阵中，偏导数 和 数值是相当小的。作为简化的第一步，可以将方程式（3-24）中的子块N和K略去不计，即认为它们的元素为零。这样，n-1+m阶的方程式（3-24）便分解为一个n-1阶和一个m阶的方程 △P = - H△δ （3-27） △Q= - LVD-1△V （3-28） 这一简化大大地节省了机器内存和解题时间。方程式（3-27）和（3-28）表明，节点的有功功率不平衡量只用于修正电压的相位，节点的无功功率不平衡量只用于修正电压的幅值。这两组方程轮流迭代，这就是所谓的有功—无功功率分解法。 但是矩阵H和L的元素都是节点电压幅值和相角差的函数，其数值在迭代过程中是不断变化的。因此，最关键的一步简化就在于，把系数矩阵H和L简化为常数矩阵。它的根据是什么呢？在一般情况下，线路两端电压的相角差是不大的（不超过１０o～２０o），因此可以认为 cosδij≈1, Gijsinδij<<Bij 此外，与系统各节点无功功率相适应的导纳ＢLDi必远小于该节点自导纳的虚部，即 ＢＬＤi＝ 〈〈Ｂii和Ｑi〈〈 Ｂii 考虑到以上的关系，矩阵Ｈ和Ｌ的元素的表达式便简化成 Ｈij＝ＶiＶjＢij（i，j=1，2， …，n-1） （3-29） Ｌij＝ＶiＶjＢij（i，j=1，2， …，m） （3-30） 而系数矩阵Ｈ和Ｌ则可以分别写成 V1B11V1 V1B12V2 V1B1，n-1V1 H = V2B21V1 V2B22V2 V2B2，n-1V2 Vn-1Bn-1,1V1 Vn-1Bn-1,2V2 Vn-1Bn-1，n-1Vn-1 V1 B11 B12 B1，n-1 = V2 B21 B22 B2，n-1 Vn-1 Bn-1,1 Bn-1,2 Bn-1，n-1 V1 V2 =VD1B/VD1 （3-31） Vn-1 V1B11V1 V1B12V2 V1B1，n-1V1 L = V2B21V1 V2B22V2 V2B2，n-1V2 VmBm,1V1 VmBm,2V2 VmBm，mVm V1 B11 B12 B1，m = V2 B21 B22 B2，m Vm Bm,1 Bm,2 Bm，m V1 V2 =VD2B//VD2 （3-32） Vm 将（3-32）和（3-32）分别代入（3-27）和（3-28），便得到 △P= -VD1B/VD1△δ △Q= -VD2B//△V 用 和 分别左乘以上两式便得 △P= - B/VD1△δ （3-33） △Q= - B//△V （3-34） 这就是简化了的修正方程式，它们也可展开写成 B11 B12 B1，n-1 V1△δ1 = B21 B22 B2，n-1 V2△δ2 | 
